Question

17、數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常數．
（1）當a₂=-1時，求λ及a₃的值；
（2）數列{a_n}是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式，若不可能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用a₂的值列出關于λ的方程是解決本題的關鍵，求出λ的值，再根據a₂的值計算出a₃的值；
（2）先假設數列{a_n}可能為等差數列，利用該數列的前3項成等差數列，得出關于λ的方程，確定出λ的值，考查數列后面的項是否滿足等差數列，從而肯定或者否定假設．

解答：解：（1）由于a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），且a₁=1，
所以當a₂=-1時，得-1=2-λ，
故λ=3．從而a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（2）數列{a_n}不可能為等差數列，證明如下：
由a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n，得
a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{a_n}為等差數列，則a₃-a₂=a₂-a₁，
即（5-λ）（2-λ）=1-λ，解得λ=3．
于是a₂-a₁=1-λ=-2，
a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
這與{a_n}為等差數列矛盾．
所以，對任意λ，{a_n}都不可能是等差數列．

點評：本題考查數列遞推關系確定數列的問題，考查數列為等差數列的判定方法、探究性問題的解決思路，考查學生解決問題的方程思想、確定一個命題為假命題的方法．關鍵要進行問題的轉化，考查學生的運算能力．