Question

【題目】已知圓，直線與圓相切，且交橢圓于， 兩點， 是橢圓的半焦距， .

（1）求的值；

（2）為坐標原點，若，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為， ，動點，直線， 與直線分別交于， 兩點，求線段的長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】試題分析: (1)利用直線與圓相切,根據點到直線的距離公式,可求的值;
(2)直線代入橢圓,根據,利用韋達定理,可求橢圓的方程;
(3)設直線AS的方程為,從而,由,得，,求出的坐標,進而可求的坐標,即可求出線段的長度的最小值.

試題解析：（1）直線與圓相切，所以， .

（2）將代入得，

得： ，

設， ，則

， ，

，因為，

即，

由已知， 代入， ，

所以橢圓的方程為.

（3）顯然直線的斜率存在，設為且則，

依題意，由得： ，

設，則， 即

，又，所以，

.

由，

∵.

所以時， .