Question

【題目】已知為拋物線上的兩個動點，點在第一象限，點在第四象限，分別過點且與拋物線相切，為的交點．

（Ⅰ）若直線過拋物線的焦點，求證動點在一條定直線上，并求此直線方程；

（Ⅱ）設為直線與直線的交點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）.

【解析】

試題（I）利用直線與拋物線相切，求出方程，可得點坐標，再求出直線的方程，即要得結論；（II）求出的坐標，可得，表示面積，利用導數法可求最小值.

試題解析：（Ⅰ）設．

易知斜率存在，設為，則方程為

由，得……①

由直線與拋物線相切，知．

于是，方程為．

同理，方程為．

聯立、方程可得點坐標為，

∵，方程為，過拋物線的焦點，

∴，．

∴，點在一條定直線上．

或解：設，則方程為，方程為．

點坐標滿足方程，

∴直線方程為，由直線過點，知，

∴，點在定直線上

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的坐標分別為，

．

設．

由知，

當且僅當時等號成立．

∴．

設，則．

∴時，；時，．

在區間上為減函數，在區間上為增函數．

∴時，取最小值．

∴當，即時，

面積取最小值