Question

如圖，四棱錐P-ABCD，側面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為PC的中點．
（Ⅰ） 求證：PC⊥AD；
（Ⅱ） 在棱PB上是否存在一點Q，使得A，Q，M，D四點共面？若存在，指出點Q的位置并證明；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ） 求點D到平面PAM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）法一：取AD中點O，連結OP，OC，AC，依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，從而AD⊥平面POC，由此能證明PC⊥AD．
法二：連結AC，依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，從而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能證明PC⊥AD．
（Ⅱ）當點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面．取棱PB的中點Q，連結QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能證明A，Q，M，D四點共面．
（Ⅲ）點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，由已知得得PO為三棱錐P-ACD的體高，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出點D到平面PAM的距離．

解答： （Ⅰ）證法一：取AD中點O，連結OP，OC，AC，
依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，
所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，
所以AD⊥平面POC，又PC?平面POC，
所以PC⊥AD．
證法二：連結AC，依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，
又M為PC的中點，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM=M，AM?平面AMD，DM?平面AMD，
所以PC⊥平面AMD，
又AD?平面AMD，所以PC⊥AD．

（Ⅱ）解：當點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面，
證明如下：
取棱PB的中點Q，連結QM，QA，又M為PC的中點，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四點共面．

（Ⅲ）解：點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO為三棱錐P-ACD的體高．
在Rt△POC中，PO=OC=

3

，PC=

6

，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=

6

，邊PC上的高AM=

PA2-PM2

=

10

2

，
所以△PAC的面積S△PAC=

1

2

PC•AM=

1

2

×

6

×

10

2

=

15

2

，
設點D到平面PAC的距離為h，
由V_D-PAC=V_P-ACD得

1

3

S△PAC•h=

1

3

S△ACD•PO，
又S△ACD=

3

4

×22=

3

，
所以

1

3

×

15

2

•h=

1

3

×

3

×

3

，
解得h=

2 15

5

，
所以點D到平面PAM的距離為

2 15

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查四點共面的判斷與求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．