Question

在一次考試中，5名同學數學、物理成績如表所示：

學生	A	B	C	D	E
數學（x分）	89	91	93	95	97
物理（y分）	87	89	89	92	93

（1）根據表中數據，求物理分y對數學分x的回歸方程：
（2）要從4名數學成績在90分以上的同學中選出2名參加一項活動，以X表示選中的同學中物理成績高于90分的人數，求隨機變量X的分布列及數學期望E（X）．（ 附：回歸方程

?

y

=

?

b

x+

?

a

中，

?

b

=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,線性回歸方程

專題：概率與統計

分析：（1）由已知求出x，y的平均數，從而求出物理分y對數學分x的回歸方程．
（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列及數學期望E（X）．

解答： 解：（1）由已知得

.

x

=

89+91+93+95+97

5

=93，

.

y

=

87+89+89+92+93

5

=90…（2分）
∴

5

i=1

(xi-

.

x

)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40，

5

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)=(-4)×(-3)+(-2)×(-1)+0×(-1)+2×2+4×3=30
∴

?

b

=

30

40

=0.75，

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

=20.25．
∴物理分y對數學分x的回歸方程為

?

y

=0.75x+20.25；   …（6分）
（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，
P(X=0)=

C 2 2

C 2 4

=

1

6

，
P(X=1)=

C 1 2 C 1 2

C 2 4

=

2

3

，
P(X=2)=

C 2 2

C 2 4

=

1

6

，…（9分）
故X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 6	2 3	1 6

∴E(X)=0×

1

6

+1×

2

3

+2×

1

6

=1．…（12分）

點評：本題考查回歸方程的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要注意排列組合的合理運用．