【題目】已知函數
的圖象在
處的切線方程為
.
（1）討論函數
的單調性.
（2）是否存在正實數
，使得函數
的定義域為
時，值域也為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）存在；
【解析】
(1)先對函數
進行求導，根據已知條件在
處的切線方程為
可求出
，
，即得到
，再對
進行求導，對參數
進行討論即可.
(2)先假設存在符合題意的正實數
，再對
進行求導，可得到它的單調性以及單調區間，從而可求得的最小值大于或等于零即可.
解：（1）∵
，∴
.
又∵
，∴，∴.
∴，∴
.
當
時，
，
在
上單調遞減；
當
時，令
，得
.
令，得
，
故在
上單調遞增，在
上單調遞減.
（2）假設存在符合題意的正實數，
由，得
.
∵
在
上單調遞增，
在上單調遞減，
∴函數在
上單調遞增.
∵
，且當
時，
，
∴存在唯一的實數
，使得
，即
①，
∴當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增.
∴
.
由，得
，
∴
.
當且僅當
時取等號，由
，得，此時
，
把，
代入①也成立.
故存在正實數，使得定義域為時，值域也為.
全優點練單元計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=ax3﹣（3a﹣2）x2﹣8x+12a+7，g（x）=lnx，記h（x）=min{f（x），g（x）}，若h（x）至少有三個零點，則實數a的取值范圍是( )
A.（﹣∞，
）B.（
，+∞）C.[，）D.[，]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某攝影協會在2019年10月舉辦了主題“慶祖國70華誕——我們都是追夢人”攝影圖片展.通過平常人的鏡頭，記錄了國強民富的幸福生活，向祖國母親70歲的生日獻了一份厚禮.攝影協會收到了來自社會各界的大量作品，從眾多照片中選取100張照片展出，其參賽者年齡集中在
之間，根據統計結果，做出頻率分布直方圖如下：
（1）求這100位作者年齡的樣本平均數
和樣本方差
（同一組數據用該區間的中點值作代表）；
（2）由頻率分布直方圖可以認為，作者年齡X服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
（i）利用該正態分布，求
；
附：
，若
，則
，
，
.
（ii）攝影協會從年齡在
和
的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“講述圖片背后的故事”座談會，現要從中選出3人作為代表發言，設這3位發言者的年齡落在區間的人數是Y，求變量Y的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，
平面
，
，點
是矩形內（含邊界）的動點，且
，
，直線
與平面所成的角為
.記點的軌跡長度為
，則
______；當三棱錐
的體積最小時，三棱錐的外接球的表面積為______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線上任意兩點
處的切線交于點
，稱
為“阿基米德三角形”.當線段
經過拋物線焦點
時，具有以下特征：①點必在拋物線的準線上；②為直角三角形，且
；③
.若經過拋物線
焦點的一條弦為，阿基米德三角形為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4 — 4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
（
）．
（1）分別寫出直線
的普通方程與曲線
的直角坐標方程；
（2）已知點
，直線
與曲線
相交于
兩點，若
，求
的值．
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