已知曲線
：
.
（Ⅰ）當
時，求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）設斜率為
的兩條直線與曲線相切于
兩點，求證：
中點
在曲線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線的方程為：
，求
的值．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）
.
解析試題分析：（Ⅰ）當時,先求導，通過斜率為1得到切點.然后利用點斜式得到所求切線方程；（Ⅱ）先將兩點的坐標設出，其中縱坐標用相應點的橫坐標表示.再由導數的幾何意義，得到兩點橫坐標滿足
.從而得到中點
，又中點在曲線上 
，顯然成立．得證；（Ⅲ）由中點在直線，又在曲線，從而得
，再反代如直線與曲線聯立得方程，得到兩點的坐標，代入導函數中得到斜率，從而得到
.
試題解析：（Ⅰ）當時，
，
設切點為
，由
，切點為
故為所求． (4分)
（Ⅱ）
，設
，
由導數的幾何意義有
中點
，即，
又中點在曲線上 ，顯然成立．得證． (8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，中點的橫坐標為
，且在上，
，
又在曲線上，
，
所以．
由
，
由于
，
故
．
綜上，為所求． (13分)
考點：1.導數的幾何意義；2.直線的方程；3.直線與曲線的位置關系.
優質課堂快樂成長系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知a，b為常數，a¹0，函數
．
（1）若a=2，b=1，求
在（0，+∞）內的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；
②若
，
，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點
形成的平面區域的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
，曲線
通過點(0，2a+3)，且在
處的切線垂直于y軸．
(I)用a分別表示b和c；
(II)當bc取得最大值時，寫出的解析式；
(III)在(II)的條件下，g(x)滿足
，求g(x)的最大值及相應x值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題13分) 已知函數
（
為自然對數的底數）。
(1)若
，求函數
的單調區間；
(2)是否存在實數
，使函數在
上是單調增函數？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由。恒成立，則
，又
，
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
（I） 當
，求
的最小值；
（II） 若函數
在區間
上為增函數，求實數
的取值范圍；
（III）過點
恰好能作函數
圖象的兩條切線，并且兩切線的傾斜角互補，求實數的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為
元,并且每件商品需向總店交
元的管理費,預計當每件商品的售價為
元時,一年的銷售量為
萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤
（萬元）與每件商品的售價
的函數關系式
;
（2）當每件商品的售價為多少元時,該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
(
為實常數) ．
（1）當
時，求函數
在
上的最大值及相應的
值；
（2）當
時，討論方程
根的個數．
（3）若
，且對任意的
，都有
，求實數a的取值范圍.
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．
時，求
上的值域；
在
上的最小值；
，都有
成立
時，求
在
處的切線方程；
對任意的
恒成立，求實數
的取值范圍；
時，設函數
，若
，求證：
.