已知函數
(
為實常數) ．
（1）當
時，求函數
在
上的最大值及相應的
值；
（2）當
時，討論方程
根的個數．
（3）若
，且對任意的
，都有
，求實數a的取值范圍.
（1）
.
；（2）
時，方程有2個相異的根. 
或
時，方程有1個根. 
時，方程有0個根.（3）
.
解析試題分析：（1）通過求導數可得函數的單調性，在對比區間的兩端點的函數值即可求得函數的最大值.（2）由于參數的變化.可以采取分離變量的方法，轉化為兩個函數的交點個數問題.其中一個是垂直于y軸的直線，另一個是通過求出函數的走向.根據圖像即可得到結論.（3）將要說明的結論通過變形得到一個等價問題從而證明新的函數的單調性，使得問題巧妙地轉化.本題只是容量大.通過研究函數的單調性，含參函數的討論.與不等式的相結合轉化為函數的單調性的證明.
試題解析：（1）
，當
時，
．當
時，
，又
，
故，當時，取等號 4分
（2）易知
，故，方程根的個數等價于
時，方程
根的個數． 設
=
， 
當
時，
，函數
遞減，當
時，
，函數遞增．又
，
，作出
與直線
的圖像，由圖像知：
當
時，即時，方程有2個相異的根；
當 或時，方程有1個根；
當時，方程有0個根； 10分
（3）當時，在
時是增函數，又函數
是減函數，不妨設
，則等價于
即
，故原題等價于函數
在時是減函數，
恒成立，即
在時恒成立．
在時是減函數 16分
（其他解法酌情給分）
考點：1.函數的最值問題.2.函數的單調性.3.函數與不等式的關系以及轉化為函數的單調性的證明.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
：
.
（Ⅰ）當
時，求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）設斜率為
的兩條直線與曲線相切于
兩點，求證：
中點
在曲線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線的方程為：
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設數列
的前
項和為
，已知
(n∈N*)．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：當x>0時，
（Ⅲ）令
，數列
的前
項和為
．利用（2）的結論證明：當n∈N*且n≥2時，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）若函數
在定義域內為增函數，求實數
的取值范圍；
（2）設
，若函數
存在兩個零點
，且實數
滿足
，問：函數在
處的切線能否平行于
軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由.
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、
，點
為坐標平面內的動點，滿足
.
是動點
是
軸上的一動點，試討論直線
與圓
的位置關系.
（其中
是實數）.
的單調區間；
，且
，求
的取值范圍．
是自然對數的底數）
，
．
時，函數
取得極值，求
的值；
時，求函數
時，關于
的方程
有唯一實數解，求實數
的值．
使得
≥0成立，求
的范圍 
＞1時，在（1）的條件下，
成立
，試確定函數
的單調區間；
且對任意
，
恒成立，試確定實數
的取值范圍；
，求證：