Question

【題目】某水果種植基地引進一種新水果品種，經研究發現該水果每株的產量（單位：）和與它“相近”的株數具有線性相關關系（兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過），并分別記錄了相近株數為0，1，2，3，4時每株產量的相關數據如下：

	0	1	2	3	4
	15	12	11	9	8

（1）求出該種水果每株的產量關于它“相近”株數的回歸方程；

（2）有一種植戶準備種植該種水果500株，且每株與它“相近”的株數都為，計劃收獲后能全部售出，價格為10元，如果收入（收入=產量×價格）不低于25000元，則的最大值是多少？

（3）該種植基地在如圖所示的直角梯形地塊的每個交叉點（直線的交點）處都種了一株該種水果，其中每個小正方形的邊長和直角三角形的直角邊長都為，已知該梯形地塊周邊無其他樹木影響，若從所種的該水果中隨機選取一株，試根據（1）中的回歸方程，預測它的產量的分布列與數學期望.

附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.

Answer 1

【答案】（1）

（2）每株“相近”的株數的最大值為5.

（3）的分布列為：

		11

一株產量的期望為

【解析】

（1）根據回歸系數公式計算回歸系數，得出回歸方程；

（2）先根據題意求得產量的范圍，再根據回歸方程解得m的范圍即可；

（3）根據相鄰株數的取值計算對應的產量，從而得出分布列和數學期望．

（1）由題意得：，

，

∴

，

，

所以，

，

所以.

（2）設每株的產量為，

根據題意：，

解得，

令，

解得，

所以每株“相近”的株數的最大值為5.

（3）由回歸方程得：

當時，，

當時，，

當時，，

當時，，

由題意得：

，

，

，

，

所以的分布列為：

		11

所以，

所以一株產量的期望為.