Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，，，，分別為，的中點，點在線段上．

（Ⅰ）求證：平面．

（Ⅱ）若為的中點，求證：平面．

（Ⅲ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)由平行四邊形的性質可得，有中點的性質有，則，

由面面垂直的性質定理可得，結合線面垂直的判斷定理可得平面．

(Ⅱ)由三角形中位線的性質可得，則平面，同理，得平面，利用面面平行的判斷定理可得平面平面，則平面．

(Ⅲ)由題意可知，，兩兩垂直，以，，分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，結合幾何關系點的坐標可得平面的法向量，平面的法向量為，由于直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，據此結合空間向量計算可得．

試題解析：

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，

∵，，，

∴，∵，分別為，的中點，

∴，∴，

∵側面底面，且，

∴底面，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）證明：∵為的中點，為的中點，

∴，又∵平面，平面，

∴平面，同理，得平面，

又∵，平面，平面，

∴平面平面，又∵平面，

∴平面．

（Ⅲ）解：∵底面，，

∴，，兩兩垂直，故以，，分別為軸，軸和軸建立如圖空間直角坐標系，

則，，，，，，

所以，，，

設，則，

∴，，

易得平面的法向量，

設平面的法向量為，則：

，即，令，得，

∴直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

∴，即，

∴，解得或（舍去），

故．