Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）增函數(shù)，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由奇函數(shù)的定義，化簡變形得出對任意的恒成立，由此可求出實數(shù)的值；

（2）任取，作差，因式分解后判斷的符號，得出和的大小關(guān)系，即可證明出函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由得出，利用函數(shù)的單調(diào)性得出，則對恒成立，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)是奇函數(shù)，又，

，即，

整理得，即對任意的恒成立，

，解得；

（2）是上的增函數(shù)，理由如下：

在上任取，

，

.

是上的增函數(shù)；

（3），且函數(shù)是奇函數(shù)，

所以，

函數(shù)是上的增函數(shù)，，

對恒成立， ，，

因此，實數(shù)的取值范圍是.