Question

已知定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數g（x）在（-∞，0）內為單調遞減函數，且g（x•y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）求g（4）的值；
（2）求滿足條g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由g（x•y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立及g（2）=1，考慮利用賦值法，取x=y=2可求g（4）；  
（2）若g（x）＞g（x+1）+2，結合（1）及已知可以化簡為g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）為偶函數，且在（-∞，0）為單調遞減函數，可得g（x）在（0，+∞）為單調遞增函數．從而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范圍

解答：解：（1）∵g（x•y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立，g（2）=1．
令x=y=2時有g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2
（2）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
又∵g（x）為偶函數，且g（x）在（-∞，0）為單調遞減函數，
∴g（x）在（0，+∞）為單調遞增函數．
|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0
兩邊同時平方化簡可得，15x²+32x+16＜0
解二次不等式可得，-

4

3

＜x＜-

4

5

，且x≠-1
綜上x的取值范圍為（-

4

3

，-1）∪（-1，-

4

5

）

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，還考查了偶函數的性質：對稱區間上的單調性相反的性質的應用，解決本題的關鍵是由偶函數y=g（x）在（0，+∞）單調遞增，g（a）＞g（b）可|a|＞|b|，考生容易漏洞由偶函數y=g（x）在（-∞，0）單調遞減，從而誤寫為a＞b．