Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的取值；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時, 減區間為；當時，增區間為，減區間為；（Ⅲ）．

【解析】

（1）先求出函數f（x）的定義域和導函數f′（x），再由兩直線垂直的條件可得f′（1）＝﹣3，求出a的值；

（2）求出f′（x），對a討論，由f′（x）＞0和f′（x）＜0進行求解，即判斷出函數的單調區間；

（3）由（1）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0進行求解，即判斷出函數的單調區間，再由條件和函數零點的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．

（Ⅰ）定義域，，，

∴．

（Ⅱ）

當，，單減區間為

當時

令，單增區間為；令，單減區間為

當時，單減區間

∴當時, 減區間為；

當時，增區間為，減區間為；

（Ⅲ）

令，，

令，；令，

∴是在上唯一的極小值點，也是唯一的最小值點

∴

∵在上有兩個零點

∴只須

∴．