Question

（14分）已知函數，且其導函數的圖像過原點．

（Ⅰ）當時，求函數的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）當時，求函數的零點個數．

Answer 1

解析: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 當時, ,，,

所以函數的圖像在處的切線方程為,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

當且僅當時，

所以的最大值為.                                         -----------------9分

		極大值		極小值

 (Ⅲ) 當時，的變化情況如下表：

-

 

 

 

 

---11分

 

的極大值，的極小值

又，.

所以函數在區間內各有一個零點，

故函數共有三個零點。--------------------14分

注：①證明的極小值也可這樣進行:

設，則

當時, ,當時, ,函數在區間上是增函數,在區間上是減函數,故函數在區間上的最大值為,從而的極小值.

②證明函數共有三個零點。也可這樣進行:

的極大值，的極小值,

當 無限減小時，無限趨于 當 無限增大時，無限趨于

    故函數在區間內各有一個零點，

故函數共有三個零點。--------------------14分