Question

【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．
（1）已知f（x）= ，x∈[﹣1，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=﹣x﹣2a，若對任意x1∈[﹣1，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：y= =x+2+ ﹣6；

設(shè)u=x+2，x∈[﹣1，1]，1≤u≤3，u=x+2為增函數(shù)；

則y=u+ ﹣6，u∈[1，3]；

由已知性質(zhì)得，①當(dāng)1≤u≤2，即﹣1≤x≤0時，f（x）單調(diào)遞減；

∴f（x）的減區(qū)間為[﹣1，0]；

②當(dāng)2≤u≤3，即0≤x≤1時，f（x）單調(diào)遞增；

∴f（x）的增區(qū)間為[0，1]；

由f（﹣1）=﹣1，f（0）=﹣2，f（1）= ；

得f（x）的值域為[﹣2，﹣1]

（2）解：g（x）=﹣x﹣2a為減函數(shù)，x∈[0，1]；

故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]；

由題意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集；

∴ ；

∴ ；

即實(shí)數(shù)a的值為

【解析】（1）根據(jù)條件，先變形f（x）= ，可令x+2=u，1≤u≤3，而函數(shù)u=x+2為增函數(shù)，從而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及已知的性質(zhì)便可得出f（x）的減區(qū)間為[﹣1，0]，增區(qū)間為[0，1]，進(jìn)一步便可得出f（x）的值域為[﹣2，﹣1]；（2）根據(jù)題意便知f（x）的值域為g（x）的子集，而容易求出g（x）的值域為[﹣1﹣2a，﹣2a]，從而得出 ，這樣即可得出實(shí)數(shù)a的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數(shù)的值的理解，了解函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．