Question

求函數f（x）=x²+x^-2-a（x+x^-1）+a+2（x＞0）的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,有理數指數冪的化簡求值

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：化簡f（x）=x²+x^-2-a（x+x^-1）+a+2=（x+x^-1）²-a（x+x^-1）+a；從而令z=x+x^-1，則z≥2；配方法得y=z²-az+a=（z-

a

2

）²+a-

a2

4

；從而求最小值．

解答： 解：f（x）=x²+x^-2-a（x+x^-1）+a+2
=（x+x^-1）²-a（x+x^-1）+a；
令z=x+x^-1，則z≥2；
y=z²-az+a=（z-

a

2

）²+a-

a2

4

；
當

a

2

≤2，即a≤4時，
y_min=4-2a+a=4-a；
當

a

2

＞2，即a＞4時，
y_min=a-

a2

4

．

點評：本題考查了換元法及配方法求函數的最小值，屬于中檔題．