Question

已知有窮數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若數(shù)列A中各項(xiàng)都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列．對于數(shù)列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項(xiàng)a_i，a_j，將的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個(gè)n-1項(xiàng)的新數(shù)列A₁（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列）．若A₁還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程T，得到的新數(shù)列記作A₂，…，如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作A_k．
（Ⅰ）設(shè)A：0，，…請寫出A₁的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）求證：對于一個(gè)n項(xiàng)的數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行n-1次；
（Ⅲ）設(shè)A：-，-，-，-，，，，，，…求A₉的可能結(jié)果，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接按定義來操作，每次取兩個(gè)數(shù)代入計(jì)算即可求出A₁的所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）先通過作差得到每次操作后新數(shù)列仍是T數(shù)列；再根據(jù)每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）先定義運(yùn)算：a⊙b=，并證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律；再結(jié)合（Ⅱ）可知A₉中僅有一項(xiàng)，再按定義先求出A₅，綜合即可得到A₉的可能結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）直接按定義來操作，當(dāng)取0，時(shí)代入計(jì)算可得：，；
當(dāng)取0，時(shí)可得A₁：，；
當(dāng)取，時(shí)，可得A₁：0，．
故有如下的三種可能結(jié)果：，；A₁：，；A₁：0，．…（3分）
（Ⅱ）因?yàn)閷?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
0且
所以{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新數(shù)列仍是T數(shù)列．
又由于每次操作中都是增加一項(xiàng)，刪除兩項(xiàng)，
所以對T數(shù)列A每操作一次，項(xiàng)數(shù)就減少一項(xiàng)，
所以對n項(xiàng)的T數(shù)列A可進(jìn)行（n-1）次操作（最后只剩下一項(xiàng)）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中僅有一項(xiàng)．
對于滿足a，b∈{x|-1＜x＜1}的實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算：a⊙b=，
下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律．
因?yàn)閍⊙b=，且b⊙a(bǔ)=，所以a⊙b=b⊙a(bǔ)，即該運(yùn)算滿足交換律；
因?yàn)閍⊙（b⊙c）=a⊙=
且（a⊙b）⊙c=c=
所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即該運(yùn)算滿足結(jié)合律．
所以A₉中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過程無關(guān)   …．…．（12分）
選擇如下操作過程求A₉：
由（Ⅰ）可知⊙=；
易知-⊙=0，-⊙=0，-⊙=0，-⊙=0；
所以A₅：，0，0，0，0．；
易知A₅經(jīng)過4次操作后剩下一項(xiàng)為．
綜上可知：A₉：．…（14分）
點(diǎn)評：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理解定義，并會用新定義來解題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤．