Question

【題目】試求正數的最大值，使得點集一定被包含于另一個點集，且對任何，都有之中．

Answer 1

【答案】

【解析】

集即為由直線確定的上半平面的交集（不同，相對應的上半平面一般也不同，但所有的這種上半平面有公共部分即交集；另外，可以規定上半平面也包含了這條直線）．而半徑為的圓的圓心到直線的距離為．

由題意知，應滿足．故的最大值是的最小值．

而

，

等號成立當且僅當，即時成立．

故．

另解：把等價地改寫為．

令，則．

下而分兩種情形討論的情況：

（1）若對稱軸或即或）時，

只須當時有，

即（或）． ①

（2）若對稱軸，即時，只須判別式，

即． ②

以上的①和②刻畫了集①和②}．

設圓與拋物線相切，消去得，即．

令其判別式得，解得．

此時，．

而點到直線的距離為（如圖），

故由上述結果可知．（不能再大，否則越出的區域）．

注：區域是圖中的陰影部分．