Question

【題目】有2002名運(yùn)動(dòng)員，號碼依次為．從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，但要使剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積．那么，被選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員至少能有多少人？給出你的選取方案，并簡述理由．

Answer 1

【答案】43

【解析】

可選出號碼為這43名運(yùn)動(dòng)員為儀仗隊(duì)員作為選取方案，即可滿足題目要求．

理由如下：

因?yàn)檫x出這43名運(yùn)動(dòng)員作儀仗隊(duì)員后，剩下運(yùn)動(dòng)員的號碼（除1號外）的任何兩個(gè)號碼數(shù)的積將大于．而1與任何一個(gè)號碼數(shù)相乘不會(huì)等于第三個(gè)不同的數(shù)，所以，剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積．

現(xiàn)在證明：43是選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員的最少人數(shù)．也就是證明：當(dāng)選取42個(gè)運(yùn)動(dòng)員為儀仗隊(duì)員后，余下的隊(duì)員中至少有這樣的三個(gè)號碼數(shù)，其中兩個(gè)號碼數(shù)的乘積等于第三個(gè)號碼數(shù)．為此，我們考察三元數(shù)組：．

即共43組．

因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增的，所以，寫出的數(shù)目是不同的，并且都不超過．這樣的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)為43．如果選出的運(yùn)動(dòng)員少于43個(gè)，至多為42個(gè)，上述43個(gè)三元數(shù)組中，至少要有一組三個(gè)數(shù)沒被選．則這三個(gè)數(shù)作為剩下的運(yùn)動(dòng)員的號碼，其中一個(gè)數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積，就不滿足題設(shè)條件的要求了．所以，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員至少要有43個(gè)．