Question

城市內環高架能改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，高架上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當高架上的車流密度達到188輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過28輛/千米時，車流速度為80千米/小時．研究表明：當28≤x≤188時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當0≤x≤188時，求車流速度v關于車流密度x的函數解析式；
（2）若車流速度v不低于50千米/小時，求車流密度x為多大時，車流量f（x）（單位時間內通過高架橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時，車流量=車流密度×車流速度）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當0≤x≤28時，v=80；當28≤x≤188時，車流速度v是車流密度x的一次函數，利用待定系數法，即可求得函數表達式．
（2）由（1）得：f（x）=v（x）•x=

80x，0≤x≤28 - 1 2 x2+94x，28≤x≤188

，結合一次函數和二次函數的單調性，求出f（x）的最大值，可得答案．

解答： 解：（1）由題意：當0≤x≤28時，車流速度為80千米/小時，所以v（x）=80；
當28≤x≤188時，車流速度v是車流密度x的一次函數，設v（x）=ax+b．
∵當橋上的車流密度達到188輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；
當車流密度不超過28輛/千米時，車流速度為80千米/小時，
∴

188k+b=0 28k+b=80

，
∴a=-

1

2

，b=94，
故函數v（x）的表達式為v（x）=

80，0≤x≤28 - 1 2 x+94，28≤x≤188

；
（2）由（1）得：f（x）=v（x）•x=

80x，0≤x≤28 - 1 2 x2+94x，28≤x≤188

，
當0≤x≤28時，f（x）為增函數，此時當x=28時，f（x）取最大值2240；
當28≤x≤188時，f（x）的圖象為開口朝下，且以直線x=94為對稱軸的拋物線，
由-

1

2

x+94≥50，故x≤88，
則由28≤x≤88時，函數為增函數，此時當x=88時，f（x）取最大值4400；
故當x=88時，f（x）取最大值4400；
答：當x=88時，車流量f（x）可以達到最大，最大值為4400輛．

點評：本題考查函數模型的構建，考查學生閱讀能力，解題的關鍵是分段求出函數解析式．