Question

設函數f（x）=ln（x-1）+

2a

x

(其中x＞1，a≥0)．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）已知對任意的x∈（1，2）∪（2，+∞），不等式

1

x-2

[f(x)-a]＞0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出函數的導數，對a討論，①當0≤a≤2，②當a＞2時，求出導數為0的根，解不等式，即可得到單調區間；
（2）當x＞1且x≠2時，不等式

1

x-2

[f(x)-a]＞0成立等價為1＜x＜2時，f（x）＜a且x＞2時，f（x）＞a恒成立．分別討論當0≤a≤2時，當a＞2時，函數的單調性和最值情況，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）的導數f′（x）=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

令g（x）=x²-2ax+2a（a≥0，x＞1），則△=4a²-8a=4a（a-2），對稱軸x=a，
①當0≤a≤2，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上遞增；
②當a＞2時，g（x）=0的兩根x₁=a-

a2-2a

，x₂=a+

a2-2a

，
由g（1）=1-2a+2a=1＞0，a＞2，則1＜x₁＜x₂，
當x∈（x₁，x₂），g（x）＜0，f（x）遞減，
當x∈（1，x₁）∪（x₂，+∞），g（x）＞0，f（x）遞增；
則有f（x）的增區間為（1，a-

a2-2a

），（a+

a2-2a

，+∞），
減區間為（a-

a2-2a

，a+

a2-2a

）；
（2）當x＞1且x≠2時，不等式

1

x-2

[f(x)-a]＞0成立
等價為1＜x＜2時，f（x）＜a且x＞2時，f（x）＞a恒成立．
由（1）知，當0≤a≤2時，f（x）在（1，+∞）上遞增，
f（2）≥a且f（2）≤a，即有f（2）=a，
即有ln1+

2a

2

=a，成立，則0≤a≤2恒成立；
當a＞2時，g（2）=4-4a+2a=4-2a＜0，即1＜x₁＜2＜x₂，
x₁＜x＜2時，f（x）遞減，f（x）＞f（2）=a；
則存在1＜x＜2，f（x）＞a即1＜x＜2時，f（x）＜a不恒成立，不滿足題意．
綜上，a的取值范圍是[0，2]．

點評：本題考查函數的導數的運用：求單調區間，考查不等式的恒成立問題，注意轉化為求函數的最值問題，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．