Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，該橢圓的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓的兩個交點記為、，其中點在第一象限，點、是橢圓上位于直線兩側的動點.當、運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)

(2)為定值，定值.

【解析】

（1）由題意可求出拋物線的焦點坐標，即為的值，再根據離心率等于，及、、的關系即可求出。

（2）由題意，即直線與直線斜率存在且斜率之和為0，可設的斜率為，表示出直線與直線的方程，分別聯立直線方程與橢圓方程，即可用含的式子表示，兩點的坐標特征，即可求出直線的斜率。

（1）因為拋物線焦點為，所以，

，∴，

又，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）由題意，當時，知與斜率存在且斜率之和為0.

設直線的斜率為，則直線的斜率為，記，，

直線與橢圓的兩個交點、，

設的方程為，聯立，

消得，

由已知知恒成立，所以，

同理可得.

所以，，

，

所以.

所以的斜率為定值.