Question

設F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

6m2

+

y2

2m2

=1（m＞0）的左、右焦點．
（I）當p∈C，且

pF1

•

pF

2=0，|

pF1

|•|

pF

2|=4時，求橢圓C的左、右焦點F₁、F₂的坐標．
（II）F₁、F₂是（I）中的橢圓的左、右焦點，已知⊙F2的半徑是1，過動點Q作的切線QM（M為切點），使得|QF1|=

2

|QM|，求動點Q的軌跡．

Answer 1

分析：（I）由

PF1

•

PF2

=0，知PF₁²+PF₂²=16m²，由|

PF1

|•|

PF2

|=4，知（PF₁+PF₂）²-8=16m²，由此能求出橢圓C的左、右焦點F₁、F₂的坐標．
（II）設Q（x，y），連接QF₂及F₂M，由QM與⊙F₂的切線，知QM²=（x-1）²+y²-1．由|QF1|=

2

|QM|，知（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]．由此能求出動點Q的軌跡．

解答：解：（I）∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
∴PF₁²+PF₂²=16m²…（2分）
又∵|

PF1

|•|

PF2

|=4
∴（PF₁+PF₂）²-8=16m²…（4分）
∴m²=1…（6分）
∴F₁（-2，0）F₂（2，0）…（7分）
（II）Q（x，y）
連接QF₂及F₂M
∵QM與⊙F₂的切線
∴QM²=QF₂²-F₂M²…（9分）
∴QM²=（x-1）²+y²-1…（10分）
又∵|QF1|=

2

|QM|
∴|QF₁|²=2|QM|²…（12分）
∴（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]…（13分）
∴（x-6）²+y²=34…（15分）
∴動點Q的軌跡是以（6，0）為圓心，

34

為半徑的圓…（16分）

點評：本題考查橢圓的左、右焦點坐標的求法和求動點的軌跡．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．