Question

以下結論正確的有

②③⑤

（寫出所有正確結論的序號）
①函數y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數；
②對于函數f（x）=-x²+1，當x₁≠x₂時，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
③已知冪函數的圖象過點(2，2

3

5

)，則當x＞1時，該函數的圖象始終在直線y=x的下方；
④奇函數的圖象必過坐標原點；
⑤函數f（x）對任意實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＜0時，f（x）＜1，則f（x）在R上為增函數．

Answer 1

分析：①函數y=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分別是減函數，在（-∞，0）∪（0，+∞）上沒有單調性；
②f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，利用作差法能夠比較

f(x1)+f(x2)

2

和f（

x1+x2

2

）的大小；
③設冪函數f（x）=x^a，由冪函數的圖象過點(2，2

3

5

)，知f（x）=x 

3

5

，由此能求出結果；
④由奇函數的性質，知奇函數的圖象不一定過坐標原點；
⑤根據抽象函數的性質，利用定義法能夠判斷f（x）R上的單調性．

解答：解：①函數y=

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上分別是減函數，
但在（-∞，0）∪（0，+∞）上沒有單調性，故①不正確；
②∵f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）
=

-x12+1-x22+1

2

-[-（

x1+x2

2

）²+1]
=

x12+2x1x2+x22

4

-

x12+x22

2

＜0，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，故②正確；
③設冪函數f（x）=x^a，
∵冪函數的圖象過點(2，2

3

5

)，∴f（2）=2

3

5

，故f（x）=x 

3

5

，
∴當x＞1時，該函數的圖象始終在直線y=x的下方，故③正確；
④由奇函數的性質，知奇函數的圖象不一定過坐標原點，故④不正確；
⑤∵函數f（x）對任意實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＜0時，f（x）＜1，
∴令x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=f（x₂+（x₁-x₂））-f（x₂）
=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
由于當x＜0時f（x）＜1，而x₁-x₂＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在R上為增函數．故⑤正確．
故答案為：②③⑤

點評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意反比例函數、二次函數、冪函數、奇函數、抽象函數的性質的靈活運用．