Question

（2009•孝感模擬）已知函數f（x）=

1

2

x²-x+2，數列{a_n}滿足遞推關系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用數學歸納法證明：當n≥5時，a_n＜2-

1

n-1

；
（3）證明：當n≥5時，有

n

k=1

1

ak

＜n-1．

Answer 1

分析：（1）由題意，先得數列的遞推關系式為an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，再依次代入可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）先證明當n=5時，結論成立；再假設結論對n=k（k≥5）成立，利用函數f(x)=

1

2

(x-1)2 +

3

2

在x＞1時為增函數，，可以證得當n=k+1時結論也成立．從而命題成立；
（3）由數列的遞推關系式為an+1=

1

2

a

2 n

-an+2，可得

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，利用裂項法求和，問題可證．

解答：解：（1）根據a₁=1及an+1=

1

2

a

2 n

-an+2計算易得a2=

3

2

，a3=

13

8

，a4=

217

128

       …（3分）
（2）證明：①a5=

1

2

(

217

128

)2-

217

128

+2=2-

217

128

(1-

1

2

•

217

128

)，
而

217

128

(1-

1

2

•

217

128

) =

217

128

• 

39

256

＞

1

4

，故a₅＜2

1

4

，即當n=5時，結論成立．…（5分）
②假設結論對n=k（k≥5）成立，ak＜2-

1

k-1

．
因an+1=

1

2

(an-1)2+

3

2

≥，而函數f(x)=

1

2

(x-1)2 +

3

2

在x＞1時為增函數，所以
ak+1＜

1

2

(2-

1

k-1

-1)2+

3

2

=2-

1

k-1

+

1

2(k-1)2

＜2-

1

k

，
即當n=k+1時結論也成立．
綜合①、②可知，不等式an＜2-

1

n-1

對一切n≥5都成立．…（9分）
（3）由an+1=

1

2

a

2 n

-an+2可得

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，而a₁=1，于是         …（11分）

n

k-1

1

ak

=

n

k-1

(

1

ak-2

-

1

ak+1-2

)=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2-an+1

-1
于是當n≥5時，an+1＜2-

1

n

，故

1

2-an+1

＜n所以

n

k-1

1

ak

=

1

2-an+1

-1＜n-1．…（14分）

點評：本題的考點是數學歸納法，主要考查數列的遞推公式，考查數列與函數的關系，考查數學歸納法，關鍵是第二步的推理論證，對于數列中的求和問題，應主要裂項法的應用．