Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，一條準線l：x=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設O為坐標原點，M是l上的點，F為橢圓C的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓D交于P，Q兩點．
①若PQ=

6

，求圓D的方程；
②若M是l上的動點，求證：點P在定圓上，并求該定圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：

c a = 2 2 a2 c =2

，解方程可求a，c利用b²=a²-c²，可求b，即可求解橢圓C的方程
（2）①先設M（2，t），然后求出圓D的方程及直線PQ的方程，聯立直線與圓的方程，結合方程的根與系數關系及弦長公式及已知PQ=

6

，可求t，進而可求
②設出P，由①知P滿足圓D及直線PQ的方程，代入后消去參數t即可判斷

解答：解：（1）由題意可知：

c a = 2 2 a2 c =2

，
∴a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為：

1

2

x2+y2=1
（2）①由（1）知：F（1，0），設M（2，t），
則圓D的方程：(x-1)2+(y-

1

2

t)2=1+

t2

4

，
直線PQ的方程：2x+ty-2=0，
∴PQ=

6

，
∴2

(1+ t2 4 )-( |2+ 1 2 t2-2 4+t2 )2

=

6

∴t²=4，t=±2
∴圓D的方程：（x-1）²+（y-1）²=2或（x-1）²+（y+1）²=2
②證明：設P（x₁，y₁），
由①知：

(x1-1)2+(y1- 1 2 t)2=1+ t2 4 2x1+ty1-2=0

，
即：

x12+y12-2x1-ty1=0 2x1+ty1-2=0

消去t得：x12+y12=2
∴點P在定圓x²+y²=2上．

點評：本題綜合考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程，直線與圓，與橢圓位置關系的應用，還考查了運算的能力