Question

【題目】已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為4，離心率為 ．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線l過該橢圓的左焦點，交橢圓于M、N兩點，且 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，橢圓的標準方程：
（2）解：由題意知，直線l的斜率存在，所以設直線方程為：y=k（x+1），

，聯立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k2﹣20=0，

∴ ，

則：

= = ，

∵ ，

∴

即：

即： ，

所以，k=±1，所以直線方程為：y=x+1或y=﹣x﹣1

【解析】（1）由短軸長可得b值，由離心率為 可得 = ，結合a2=b2+c2即可求得a值，即可得出橢圓的方程；（2）設直線方程為：y=k（x+1），聯立方程組消掉y得到x的二次方程，設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由韋達定理及弦長公式即可表示弦長|MN|，最后利用弦長建立等式，即可求出直線l的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一般式方程(直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）)，還要掌握橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)的相關知識才是答題的關鍵．