Question

過雙曲線M；x²-=1（b＞0）的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的漸近線分別交于B、C兩點，且=，則雙曲線的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據雙曲線方程，得漸近線方程為y=-bx或y=bx．設直線l的方程為y=x+1，與漸近線方程聯解分別得到B、C的橫坐標關于b的式子．由=得B為AC的中點，利用中點坐標公式建立關于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=，即可得到該雙曲線的離心率．
解答：解：由題可知A（-1，0）所以直線l的方程為y=x+1
∵雙曲線M的方程為x²-=1，∴兩條漸近線方程為y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx聯解，得B的橫坐標為x_B=-
同理可得C的橫坐標為x_C=
∵=，∴B為AC中點，可得2x_B=x_A+x_C，
即-•2=-1+，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c==，可得雙曲線的離心率e==
故選：A
點評：本題給出雙曲線的漸近線與過左頂點A的直線相交于B、C兩點且B為AC的中點，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．