Question

【題目】如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點． 求證：

（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，

在△CAP中，CO=OA，CE=EP，

∴PA∥EO，

又∵PA平面BDE，EO平面BDE，

∴PA∥平面BDE

（2）證明∵PO⊥底面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥PO

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC

∵AC∩PO=O，AC，PO平面PAC

∴BD⊥平面PAC

【解析】（1）連接OE，根據三角形中位線定理，可得PA∥EO，進而根據線面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．（2）根據線面垂直的定義，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，結合四邊形ABCD是正方形及線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．