Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x，其中a≤0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+b，求a﹣2b的值；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）設函數g（x）=x2﹣3x+3，如果對于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣ax﹣2，f′（1）=﹣1﹣a=2，解得：a=﹣3，

∴f（1）=﹣ a﹣2=﹣ ，

將（1，﹣ ）代入y=2x+b，得：b=﹣ ，

∴a﹣2b=﹣3+5=2；

（2）解：∵f′（x）= ﹣ax﹣2= ，

設φ（x）=﹣ax2﹣2x+1（x＞0，a≤0），

①當a=0時，φ（x）=﹣2x+1，

令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，令φ′（x）＜0，解得：x＞ ，

∴f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減；

②當a＜0時，φ（x）對稱軸為x=﹣ ＞0，過點（0，1）開口向上，

i）若a≤﹣1，f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數．

ii）若﹣1＜a＜0，當x∈（0， ）時，f′（x）≥0；當x∈（ ， ）時，f′（x）≤0；

當x∈（ ，+∞）時，f'（x）≥0；

∴f（x）在（0， ）上是增函數，在（ ， ）上是減函數，在（ ，+∞）上是增函數．

（3）解：若任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，

則只需f（x）max≤g（t）min，

函數g（x）=x2﹣3x+3在（0，1]的最小值是g（1）=1，

由（2）得：a=0時，f（x）=lnx﹣2x在（0， ）遞增，在（ ，1]遞減，

∴f（x）max=f（ ）=﹣1﹣ln2＜1，成立，

﹣1＜a＜0時， ≥1，∴f（x）在（0，1]遞增，

f（x）max=f（1）=﹣ a﹣2≤1，解得：a≥﹣6，

a≤﹣1時，f（x）在（0，1]上是增函數，

f（x）max=f（1）=﹣ a﹣2≤1，解得：a≥﹣6，

綜上，a∈[﹣6，0]．

【解析】（1）求出f（x）的導數，得到f′（1）=2，解得a的值，將a的值代入求出f（1），將（1，f（1））代入方程y=2x+b求出b的值，從而求出a﹣2b的值即可；（2）二次函數根的討論問題，分a＞0，a＜0情況進行討論．；（3）問題轉化為f（x）max≤g（t）min ， 分別求出其最大值和最小值即可得到關于a的不等式，解出即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．