Question

如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長線交⊙O于N，過N點(diǎn)的切線交CA的延長線于P．

（1）求證：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2，OA=OM，求MN的長．

Answer 1

（1）（1）做出輔助線連接ON，根據(jù)切線得到直角，根據(jù)垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到角的相等關(guān)系，得到結(jié)論．
（2）MN=2

解析試題分析：證明：連接ON，因?yàn)镻N切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因?yàn)镺B⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM²=PN²=PA•PC
（2）∵OM=2，BO=2，BM=4
∵BM•MN=CM•MA=（（2）=8，
∴MN=2

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段
點(diǎn)評：本題要求證明一個(gè)PM²=PA•PC結(jié)論，實(shí)際上這是一個(gè)名叫切割線定理的結(jié)論，可以根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例來證明，這是一個(gè)基礎(chǔ)題．