Question

（2011•通州區一模）已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內有大小相同的2個紅球和n個黑球．現從兩盒中各任取出2個球，若取出的4個球都是黑球的概率是

1

5

．
（I）求n；
（II）設隨機變量ξ為取出的4個球中紅球的個數，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）取出的4個球均為黑色球包括從甲盒內取出的2個球均黑球且從乙盒內取出的2個球為黑球，這兩個事件是相互獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
（II）ξ為取出的4個球中紅球的個數，則ξ可能的取值為0，1，2，3，求出相應的概率，即可寫出分布列．

解答：解：（I）設“從甲盒內取出的2個球均黑球”為事件A，“從乙盒內取出的2個球為黑球”為事件B．
∵事件A，B相互獨立，且P（A）=

C 2 3

C 2 4

=

1

2

，P（B）=

C 2 n

C 2 n+2

．
∴取出的4個球均為黑球的概率為P（A•B）=P（A）•P（B）=

1

2

×

n(n-1)

(n+2)(n+1)

=

1

5

∴n=4．
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3．
則P（ξ=0）=

1

5

，P（ξ=1）=

C 2 3

C 2 4

•

C 1 2 C 1 4

C 2 6

+

C 1 3

C 2 4

•

C 2 4

C 2 6

=

7

15

，
又P（ξ=3）=

C 1 3

C 2 4

•

1

C 2 6

=

1

30

，
從而P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

3

10

．
ξ的分布列為

點評：本小題主要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．