Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx

x

，對于下列三個命題：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）＜1；③當(dāng)x=

3

2

π 時，f（x）取得極小值．其中真命題的序號為（　　）

Answer 1

分析：對于①，考察證明f（-x）與f（x）的關(guān)系得證；對于②針對函數(shù)f（x）=

sinx

x

的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜

π

2

時的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過面積關(guān)系證明sinx＜x．對于③，利用商的導(dǎo)數(shù)運算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）=

sinx

x

的定義域為x≠0，
當(dāng)x≠0時，f（-x）=

sin(-x)

-x

=

-sinx

-x

=

sinx

x

=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；①正確；
對于②，針對函數(shù)f（x）=

sinx

x

的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜

π

2

時的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設(shè)

AN

的長為l，則x=

1

r

=l，
∴

1

2

ON•MA＜

1

2

ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f（x）=

sinx

x

＜1，
而由該函數(shù)是偶函數(shù)，可知②正確；
f′（x）=

(sinx)′x-sinx•x′

x2

=

xcosx-sinx

x2

令

xcosx-sinx

x2

=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但當(dāng)x=

3

2

π時，不滿足tanx=x，
故當(dāng)x=

3

2

π時，f（x）取不到極小值，故③錯．
綜上可得真命題的序號為①②，
故選A．

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．