Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）命題：“設(shè)、是雙曲線上關(guān)于它的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)， 為該雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類(lèi)比上述命題，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于橢圓的類(lèi)似的正確命題，并加以證明和求出此定值；

（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫(xiě)出關(guān)于方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）.

 

Answer 1

【答案】

（1）．

（2）關(guān)于橢圓的正確命題是：設(shè)、是橢圓上關(guān)于它

的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若直線、均存在斜率，

則它們的斜率之積為定值．（定值）

（3）關(guān)于方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題是：

設(shè)、是方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線上關(guān)于它的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，為該曲線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，

則，，

橢圓的方程為．

（2）關(guān)于橢圓的正確命題是：設(shè)、是橢圓上關(guān)于它

的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若直線、均存在斜率，

則它們的斜率之積為定值．

證明如下：

設(shè)點(diǎn)，，，

直線、的斜率分別為，

則，

點(diǎn)，在橢圓上，

，且，

， 即，

所以，（定值）

（3）關(guān)于方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線的統(tǒng)一的一般性命題是：

設(shè)、是方程（，不同時(shí)為負(fù)數(shù)）的曲線上關(guān)于它的中心對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，為該曲線上的動(dòng)點(diǎn)，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值.

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）注意將斜率用坐標(biāo)表示出來(lái)，易于發(fā)現(xiàn)關(guān)系。本題得到一般性結(jié)論，對(duì)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)探究很有裨益。