Question

【題目】已知數列各項均為正數， ， ，且對任意恒成立，記的前項和為.

（1）若，求的值；

（2）證明：對任意正實數， 成等比數列；

（3）是否存在正實數，使得數列為等比數列.若存在，求出此時和的表達式；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）存在使數列為等比數列，此時， .

【解析】試題分析：（1）根據， ，且對任意恒成立，代值計算即可．

（2）a1=1，a2=2，且anan+3=an+1an+2對任意n∈N*恒成立，則可得，從而的奇數項和偶數項均構成等比數列，即可證明，

（3）在（2）中令，則數列是首項為3，公比為的等比數列，從而得到， ．又數列為等比數列，解得，∴， ，∴求出此時和的表達式.

試題解析：

解：（1）∵，∴，又∵，∴；

（2）由，兩式相乘得，

∵，∴，

從而的奇數項和偶數項均構成等比數列，

設公比分別為，則， ，

又∵，∴，即，

設，則，且恒成立，

數列是首項為，公比為的等比數列，問題得證；

（3）在（2）中令，則數列是首項為3，公比為的等比數列，

∴

，

且， ， ， ，

∵數列為等比數列，∴

即即

解得（舍去），

∴， ，

從而對任意有，

此時， 為常數，滿足成等比數列，

當時， ，又，∴，

綜上，存在使數列為等比數列，此時， .