Question

【題目】如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC， ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點F在線段AB上，且EF//BC.

(Ⅰ)證明：AB平面PFE.

(Ⅱ)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) BC=3或BC=3

【解析】試題分析：（Ⅰ）先由已知易得，再注意平面平面，且交線為，由面面垂直的性質可得平面，再由線面垂直的性質可得到，再注意到，而，從而有，那么由線面垂的判定定理可得平面，

（Ⅱ）設則可用將四棱錐的體積表示出來，由已知其體積等于7，從而得到關于的一個一元方程，解此方程，再注意到即可得到的長．

試題解析：證明：如題（20）圖.由知， 為等腰中邊的中點，故

，

又平面平面，平面 平面， 平面， ，

所以平面，從而.

因.

從而與平面內兩條相交直線， 都垂直，

所以平面.

（2）解：設,則在直角中，

.從而

由，知，得,故，

即.

由,,

從而四邊形DFBC的面積為

由（1）知，PE平面，所以PE為四棱錐P-DFBC的高.

在直角中， ,

體積,

故得，解得，由于，可得.

所以或.