Question

如圖平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，A₁，A₂分別是橢圓的左、右兩個頂點，圓A₁的半徑為a，過點A₂作圓A₁的切線，切點為P，在x軸的上方交橢圓于點Q．則

PQ

QA2

=

 

．

Answer 1

分析：連結A₂P，可得△OPA₂是邊長為a的正三角形，由此算出PA₁、PO的方程，聯解求出點P的橫坐標m=-

1

2

a．由A₂P與圓A₁相切得到A₂P⊥PA₁，從而得到直線A₂P的方程，由橢圓的離心率化簡橢圓方程，并將PA₂的方程與橢圓方程聯解算出Q點橫坐標s=

a

7

．由

PQ

QA2

=

xQ-xP

xA2-xQ

，把前面算出的橫坐標代入即可求得

PQ

QA2

的值．

解答：解：連結PO、PA₁，可得△POA₁是邊長為a的等邊三角形，
∴∠PA₁O=∠POA₁=60°，可得直線PA₁的斜率k₁=tan60°=

3

，
直線PO的斜率k₂=tan120°=-

3

，
因此直線PA₁的方程為y=

3

（x+a），直線PO的方程為y=-

3

x，
設P（m，n），聯解PO、PA₁的方程可得m=-

1

2

a．
∵圓A₁與直線PA₂相切于P點，
∴PA₂⊥PA₁，可得∠PA₂O=90°-∠PA₁O=30°，
直線PA₂的斜率k=tan150°=-

3

3

，因此直線PA₂的方程為y=-

3

3

（x-a），
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，∴

c

a

=

a2-b2 a2

=

3

2

，解之得a²=4b²，
由

x2 a2 + 4y2 a2 =1 y=- 3 3 (x-a)

消去y，得

7

3

x2-

8

3

ax+

1

3

a2=0，解之得x=a或x=

a

7

．
∵直線PA₂交橢圓于A₂（a，0）與Q點，∴設Q（s，t），可得s=

a

7

．
由此可得

PQ

QA2

=

xQ-xP

xA2-xQ

=

s-m

a-s

=

a 7 + 1 2 a

a- a 7

=

3

4

．
故答案為：

3

4

點評：本題給出與橢圓相關的直線與圓相切的問題，求線段的比值．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關系、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．