Question

（本小題共12分）

如圖，已知直線l與拋物線相切于點P(2，1)，且與x軸交于點A，O為坐標原點，

定點B的坐標為（2，0）.

（1）若動點M滿足，求點M的軌跡C；

（2）若過點B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓 （II）（3－2，1）.

【解析】

試題分析：（I）由，  ∴直線l的斜率為 

故l的方程為，∴點A坐標為（1，0）

設   則，

由得

整理，得 

∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓

（II）由題意知直線l的斜率存在且不為零，設l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得，

由△>0得0<k²<.  設E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

則 ②

令，由此可得

由②知

.

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.

考點：本題考查了直線與拋物線的位置關系

點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯立方程，同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解；而對于最值問題，則可將該表達式用直線斜率k表示，然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式.