Question

【題目】如圖，已知扇形是一個觀光區的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設計方案:

（1）如圖1，擬在觀光區內規劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點在弧上，另一頂點在半徑上，且，求周長的最大值；

（2）如圖2，擬在觀光區內規劃一個三角形區域種植花卉，三角形花圃的一個頂點在弧上，另兩個頂點在半徑上，且，，求花圃面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）米（2）

【解析】

（1）要求周長的最大值，即求的最小值，設，在中由正弦定理求出，利用三角恒等變換，將轉化為正弦型三角函數，即可求出最值；或由，利用余弦定理結合基本不等式，即可求出的最值；

（2）中的面積與（1）中面積相等，利用余弦定理結合基本不等式，即可求出的最大值；或過作于，設，，通過，求出，進而求出，求出面積關于的三角函數關系，利用三角恒等變換，以及正弦函數的圖像求出其最值.

（1）解法1:∵，，∴，

又，設，，

在中由正弦定理知

，

∴，，

∴周長為

，

，∴時，周長最大值米，

解法2:在中，因為，

，，∴，

由余弦定理知: ，

∴，

∴，

∴，當且僅當，等號成立；

（2）解法1:因為（2）中的面積與（1）中面積相等，

而在中，因為， ，，

∴，由余弦定理知: ，

∴，

∴，當且僅當，等號成立；

∴，

答:花圃面積最大值，最大值時.

解法2:過作于，∵，，

易知四邊形為矩形，連結，設，，

∴，

在中，

∴

，時，最大值為.

答:花圃面積最大值為.