Question

設過點P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若

BP

=3

PA

且(

1

2

OQ

)•(

1

2

AB

)=1，則點P的軌跡方程是（　　）

• A、x2+

  y2

  3

  =1(x＞0，y＞0)
• B、x2-

  y2

  3

  =1(x＞0，y＞0)
• C、

  x2

  3

  -y2=1(x＞0，y＞0)
• D、

  x2

  3

  +y2=1(x＞0，y＞0)

Answer 1

分析：設P（x，y），則Q（-x，y），又設A（a，0），B（0，b），則a＞0，b＞0，表示出

BP

和

PA

，根據

BP

=3

PA

，可求得a和b的表達式，進而根據由 (

1

2

OQ

)•(

1

2

AB

)=1求得P的軌跡方程．

解答：解：設P（x，y），則Q（-x，y），又設A（a，0），B（0，b），則a＞0，b＞0，
∴

BP

=(x，y-b)，

PA

=(a-x，-y)，
由

BP

=3

PA

可得a=

3

4

x，b=

1

4

y，
∴x＞0，y＞0
又∵

AB

=（-a，b）=（-

3

4

x，

1

4

y），
由 (

1

2

OQ

)•(

1

2

AB

)=1
∴

x2

3

+y2=1(x＞0，y＞0)
故選D．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征、圓錐曲線的軌跡問題．解答關鍵是利用向量的基本運算得出x，y之間的關系式．