Question

【題目】高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內.如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內.例如小球要掉入3號球槽，則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處，再以的概率向左滾下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處，再以的概率向右滾下.

(1)若進行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；

(2)小明同學在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號球槽得到的獎金為元，其中.

（i）求X的分布列：

（ii）高爾頓板游戲火爆進行，很多同學參加了游戲，你覺得小明同學能盈利嗎？

Answer 1

【答案】(1)；(2)（i）分布列見解析；（ii）能盈利.

【解析】

（1）記小球落入第7層第6個空隙處的事件為M，小球落入第7層第6個空隙處，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出這個小球掉入第7層第6個空隙處的概率；
（2）X的取值為1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X的分布列，進而可求出的分布列和，從而能求出小明同學能盈利.

(1)記小球落入第7層第6個空隙處的事件為M，小球落入第7層第6個空隙處，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，

則；

(2)（i）由已知X的取值可為1，2，3，4，5，6，7.

；

；

；

，

∴X的分布列為

X	1	2	3	4	5	6	7
P

（ii）

的可能取值為0，5，10，15，

，

，

，

，

∴.

∴小明同學能盈利.