Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數的單調性；

(2)若的圖象與直線交于，兩點，且，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；(2).

【解析】

(1)先求導數，根據，以及三種情況討論導函數符號，進而確定對應單調性；

(2)先構造函數，再求導數，根據以及兩種情況討論函數單調性，結合單調性確定滿足條件的不等式，解得m的取值范圍，最后利用零點存在定理證明所求范圍恰好保證函數有兩個零點.

(1)依題意，，.

①若，則，故在上單調遞減

②若，令，解得或.

（i）若，則，，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增；

（ii）若，則，，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.

綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

(2)令，則由題意可知有兩個大于1的實數根，顯然.

令，則.

若，則當時，，當時，，

要滿足已知條件，必有此時無解；

若，則當時，，當時，，

要滿足已知條件，必有解得.

當時，在上單調遞減，，故函數在上有一個零點.

易知，且，下證：.

令，則，當時，，

當時，，故，即，

故，故，

又在上單調遞增，故在上有一個零點.

綜上所述，實數m的取值范圍為.