Question

?x∈R，且x≠0．不等式|x+

1

x

|＞|a-5|+1恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：不等式|x+

1

x

|＞|a-5|+1對于一切非零實數x均成立，可以先求出|x+

1

x

|的最小值，然后利用|a-5|+1小于這個最小值即可求解a的取值范圍．

解答：解：當x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2；
當x＜0時，-[(-x)+(-

1

x

)]≤-2

(-x)•(- 1 x )

=-2．
從而|x+

1

x

|≥2恒成立，
所以不等式|x+

1

x

|＞|a-5|+1對于一切非零實數x均成立，
可轉化為|a-5|+1＜2，即|a-5|＜1
即-1＜a-5＜1所以4＜a＜6．
故答案為：4＜a＜6．

點評：應用基本不等式求最值，一定注意一正、二定、三相等；對于恒成立的問題一般轉化為求函數的最值，體現了轉化和分類討論的數學思想方法．屬中檔題．