Question

證明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程|z|2+(1-i)

.

z

-(1+i)z=

5-5i

2+i

（i為虛數(shù)單位）無解．

Answer 1

分析：復(fù)系數(shù)方程是否有實(shí)根，可根據(jù)方程根的定義以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題．此題需要設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件建立實(shí)數(shù)方程組，最后求解方程組看其是否有解．

解答：證明：設(shè)這個(gè)方程有復(fù)數(shù)根為z=x+yi（x，y∈R），
則應(yīng)有x2+y2+(1-i)(x-yi)-(1+i)(x+yi)=

5(1-i)(2-i)

22+12

化簡(jiǎn)得x²+y²-2（x+y）i=1-3i
根據(jù)復(fù)數(shù)相等得

x2+y2=1(1) x+y= 3 2 (2)

由式（2）得y=

3

2

-x
將其代入式（1）得，2x2-3x+

5

4

=0(3)
∵△=(-3)2-4×2×

5

4

=9-10=-1＜0，
∴式（3）無實(shí)根，即x不是實(shí)數(shù)與假設(shè)矛盾
所以方程|z|2+(1-i)

.

z

-(1+i)z=

5-5i

2+i

沒有復(fù)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)相等的充要條件（它們的實(shí)部和虛部分別相等）是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題的主要途徑，依據(jù)它可求復(fù)數(shù)的值、在復(fù)數(shù)集中解方程等．