Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在點處的切線方程為，求函數的極值；

（2）若，對于任意，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，極小值為，當時，極大值為；（2）.

【解析】

（1）由求出，然后利用導數研究出的單調性即可

（2）不等式可變形為，由，且，得函數在上單調遞減，令，則在上恒成立，即在上恒成立，然后利用導數求出右邊的最小值即可.

（1）由題意得函數的定義域為，

由函數在點處的切線方程為，得，解得.

此時，.

令，得或.

當和時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

則當時，函數取得極小值，為，

當時，函數取得極大值，為.

（2）由得.

不等式可變形為，即.

因為，且，

所以函數在上單調遞減.

令，

則在上恒成立，

即在上恒成立.

設，

則.

因為當時，，

所以函數在上單調遞減，

所以，

所以，

即實數的取值范圍為.