Question

設四面體的各條棱長都為1，若該四面體的各個頂點都在同一個球面上，求該球的表面積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：球

分析：將正四面體補成正方體，再將正方體放在一個球體中，利用它們之間的關系求出球的半徑即可求解球的表面積．

解答： 解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，
∵正四面體棱長均為1，∴正方體的棱長是

2

2

，
又∵球的直徑是正方體的對角線，設球半徑是R，
∴2R=

2

2

×

3

，
∴R=

6

4

，
∴該球的表面積：4π(

6

4

)2=

3π

2

．

點評：巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化．若已知正四面體V-ABC的棱長為a，求外接球的半徑，可以構造出一個球的內接正方體，再應用對角線長等于球的直徑可求得，考查轉化思想的應用．