Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)

（2）解：由（1）知函數(shù)f（x）在[1，4]上是增函數(shù)，

∴最大值f（4）= ，最小值f（1）=

【解析】（1）根據(jù)增函數(shù)的定義進(jìn)行判斷和證明；（2）利用（1）的結(jié)論，利用函數(shù)的單調(diào)性．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．