Question

【題目】設函數f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，試判斷函數單調性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）= ，設g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣1，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義域為R的奇函數；

∴f（0）=0；

∴k=0

（2）解：f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）；

由f（1）＞0得 ；

∴a＞1；

∴ax單調遞增，a﹣x單調遞減；

故f（x）在R上單調遞增；

∵f（﹣x）=﹣f（x）；

∴不等式化為f（x2+x）＞f（2x﹣t）；

∴x2+x＞2x﹣t；

∴x2﹣x+t＞0恒成立；

∴△=1﹣4t＜0；

∴t的取值范圍為

（3）解：∵f（1）= ，∴ ；

即2a2﹣3a﹣2=0；

∴a=2，或a= （舍去）；

∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2；

令t=f（x）=2x﹣2﹣x，

由（2）可知f（x）=2x﹣2﹣x為增函數；

∵x≥1，∴t≥f（1）= ；

令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥ ）

①若m≥ ，當t=m時，h（t）min=2﹣m2=﹣1，∴m= ，∴m= ；

②若m＜ ，當t= 時，h（t）min= ﹣3m=﹣1，解得m= ，舍去；

綜上可知m=

【解析】（1）根據f（x）為定義在R上的奇函數便有f（0）=0，從而可以求出k=0；（2）先得出f（x）=ax﹣a﹣x ， 根據f（1）＞0便可得出a＞1，從而判斷出f（x）為增函數，從而由原不等式可得x2﹣x+t＞0恒成立，這便有△=1﹣4t＜0，這樣便可得出t的取值范圍；（3）由f（1）= 便可求出a=2，從而可以得到g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，可設t=f（x）=2x﹣2﹣x ，可令h（t）=（t﹣m）2+2﹣m2 ， 該二次函數的對稱軸為t=m，討論m： 時，t=m時，h（t）取到最小值2﹣m2=﹣1，這樣便可求出m= ；m 時，t= 時，h（t）取到最小值 ，得到m= ，不滿足m ，從而便得到m的值只有一個為 ．