Question

【題目】如圖，點T為圓上一動點，過點T分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接BA延長至點P，使得，點P的軌跡記為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）若點A，B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M，N兩點，試問在曲線C上是否存在點Q，使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線l方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）這樣的直線不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設,則,由題意知,所以為中點,利用中點公式求得,再利用相關點法求軌跡方程即可；

（2）易知直線的斜率存在且不為零,設直線的方程為,由可得,聯立直線與曲線的方程可得,由韋達定理可知與的關系,利用四邊形OMQN為平行四邊形,則對角線相互平分可得,代入曲線的方程,進而求解即可

（1）設,則,

由題意知,所以為中點,

由中點坐標公式得,即,

又點在圓上,

故滿足,則,

所以曲線C為

（2）由題意知直線的斜率存在且不為零,

設直線的方程為,則,,

因為,所以,即①

聯立方程,消去得:,

設,,

則,

因為為平行四邊形,所以為,即,

因為點在曲線上,故,整理得②

將①代入②,得,該方程無解,

故這樣的直線不存在.