Question

已知函數f(x)＝ax3＋bx2－3x(a、b∈R)在點x＝－1處取得極大值為2.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)若對于區間[－2，2]上任意兩個自變量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求實數c的最小值．

 

Answer 1

（1）f(x)＝x3－3x（2）4

【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3.

由題意，得即解得

所以f(x)＝x3－3x.

(2)令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，得x＝±1.

x	－2	(－2，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，2)	2
f′(x)		＋		－		＋
f(x)	－2	增	極大值	減	極小值	增	2

因為f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以當x∈[－2，2]時，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.

則對于區間[－2，2]上任意兩個自變量的值x1、x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值為4.